Abelhas sabem Cálculo Diferencial

Se a Geometria é o estudo das formas e a Álgebra é o estudo das propriedades dos números aplicado à solução de equações, o Cálculo Diferencial e Integral é a parte da matemática que lida com variações. Qualquer situação em que uma ou mais grandezas estejam mudando pode ser analisada com os recursos do Cálculo.

    Uma das inúmeras aplicações do Cálculo é a descoberta de máximos ou mínimos de funções. Suponha que você seja dono de uma fábrica de refrigerante de seriguela e queira fabricar latas de 350 mL. Existem inúmeros tamanhos diferentes que você pode usar. Por exemplo, você pode fazer as latas com 12 cm de altura e 6,1 cm de diâmetro. Mas se você for uma pessoa econômica não vai querer isso! É melhor fazer uma lata com 10 cm de altura e 6,7 cm de diâmetro, pois assim você estará gastando 3% a menos de alumínio. Entre todas as latas de 350 mL, qual a mais econômica? Essa será uma pergunta muito importante para você e suas seriguelas e pode ser resolvida pelo Cálculo. Descobre-se que a lata mais econômica é aquela cuja altura é igual ao diâmetro (no nosso caso, 7,6 cm de altura)*.

    As abelhas também usam conhecimentos de Matemática para construir suas colmeias: elas desejam depositar o mel que fabricam em alvéolos de cera que tenham a forma mais econômica possível, isto é, que apresentem o maior volume para a menor porção de material empregado.

    Para haver economia de material, é necessário que a parede de um alvéolo sirva também ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois se fosse assim cada parede só serviria a um alvéolo. Na verdade os alvéolos devem ter forma de prismas.

    Só há três prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstício: o triangular, o quadrangular e o hexagonal. É assim porque os únicos polígonos com os quais se pode pavimentar um plano sem deixar espaços vazios e sem que haja intersecções são o triângulo eqüilátero, o quadrado e o hexágono regular. Com pentágonos regulares, por exemplo, não é possível formar um mosaico.

    As abelhas escolheram usar prismas hexagonais. Você sabe por quê? Porque dos três prismas regulares construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.

    Os espertos himenópteros ainda precisam decidir qual a maneira mais econômica de fechar os alvéolos. A forma adotada é a seguinte: o fundo de cada alvéolo é constituído de três losangos iguais e também serve como fundo para outros alvéolos, pois a colmeia é arranjada em favos com duas fileiras de alvéolos. 

    O volume dos alvéolos depende da forma dos losangos usados para fechá-lo. O primeiro a se interessar por essa forma parece ter sido o astrônomo italiano Jean-Dominique Maraldi (1709-1788). Ele determinou experimentalmente, com absoluta precisão, os ângulos desses losangos e achou 109°28’ para o ângulo obtuso e 70°32’ para o ângulo agudo.

    Em 1739, o físico René-Antoine Ferchault de Réamur (1683-1757), supondo que as abelhas eram guiadas, na construção dos alvéolos, por um princípio de economia, propôs ao geômetra alemão Johann Samuel König (1712-1757) o seguinte problema:

Entre todas as células hexagonais com o fundo formado por três losangos, determinar a que seja construída com a maior economia de material.

    König, que não conhecia os resultados obtidos por Maraldi, achou que os ângulos do losango do alvéolo matematicamente mais econômico deviam ser 109°26’ para o ângulo obtuso e 70°34’ para o ângulo agudo.

    A concordância entre as medidas feitas por Maraldi e os resultados calculados por König era espantosa. As abelhas cometiam, na construção dos seus alvéolos, um erro de míseros 2’ no ângulo do losango de fechamento! Entre o alvéolo construído pelos insetos alados e o alvéolo “matematicamente correto” havia uma diferença extremamente pequena!**

    Alguns anos depois, em 1743, geômetra escocês Colin MacLaurin (1698-1746) retomou o problema. Imagine o que ele descobriu. Que havia um erro nos cálculos de Koenig e que o resultado real era precisamente os valores dos ângulos dados por Maraldi - 109°28’ e 70°32’. Os sábios da Ciência haviam errado. As abelhas é que tinham razão!

    Está demonstrado, portanto, que as abelhas devem ter bons conhecimentos de Geometria e Cálculo. Eu reproduzi as contas que elas devem fazer para construir suas colméias e avalio que seja um problema digno do primeiro ano numa faculdade de Exatas. Queira dar uma olhada dos meus cálculos (clique com o botão direito e selecione 'Abrir link em nova aba' para visualizar a figura inteira).

    A questão é óbvia, mas eu não posso deixar de fazê-la. Como as abelhas sabem a forma precisa que devem ter os alvéolos da sua colméia para que seja gasta a menor quantidade de material possível? A economia é tanta que basta um quilograma de cera para armazenar oito quilogramas de mel! Quem ensinou princípios de Modelagem Matemática a esses insetos?

    Sei que cresce bastante o número de cristãos que rejeita uma interpretação mais literal da Bíblia para abraçar o evolucionismo. Mas como a Evolução explicaria isso? [E é realmente uma pergunta, ficarei feliz em ouvir uma resposta. Admito que sei muito pouco sobre a Teoria da Evolução.] Será que ao longo de bilhões de anos surgiram inúmeras espécies de abelhas e a Seleção Natural se encarregou de eliminar todas aquelas que não projetavam os alvéolos de suas colméias com losangos de 109°28’ e 70°32’? Se o conhecimento for adquirido por meio de tentativa e erro, como a informação passa de uma geração a outra? 

    Agora me vem à mente aquela passagem da Bíblia em que um dos amigos de Jó, Eliú,  diz:

Por causa das muitas opressões os homens clamam por causa do braço dos grandes.

Porém ninguém diz: Onde está Deus que me criou, que dá salmos durante a noite;

Que nos ensina mais do que aos animais da terra e nos faz mais sábios do que as aves do céus? 

Jó 35.9-11

    Parafraseio Eliú e me pergunto como é possível que muitas pessoas não se questionem onde está Deus que as criou, e que faz abelhas mais sábias do que matemáticos da burguesia alemã.


* Se a lata mais econômica é aquela que tem o diâmetro igual à altura, por que as latas de refrigerante geralmente não têm esse formato? Eu não sei, mas devem haver outras coisas a ser levadas em conta.
** Para ter uma ideia de quão pequeno é um ângulo de 2' (dois minutos), imagine que uma formiga de 0,6 mm de altura ergue uma das extremidades de uma régua de 1 metro de comprimento. O ângulo que a outra extremidade faz com o chão mede aproximadamente dois minutos.

Fontes:

Matemática Divertida e Curiosa, de Malba Tahan;

A Geometria das Abelhas, monografia de Dominique Miranda Martins (UFMG);

Modelagem Matemática, de Rodney Carlos Bassanezi.