Uma
das inúmeras aplicações do Cálculo é a descoberta de máximos ou mínimos de
funções. Suponha que você seja dono de uma fábrica de refrigerante de seriguela
e queira fabricar latas de 350 mL. Existem inúmeros tamanhos diferentes que você
pode usar. Por exemplo, você pode fazer as latas com 12 cm de altura e 6,1 cm
de diâmetro. Mas se você for uma pessoa econômica não vai querer isso! É melhor
fazer uma lata com 10 cm de altura e 6,7 cm de diâmetro, pois assim você estará
gastando 3% a menos de alumínio. Entre todas as latas de 350 mL, qual a mais
econômica? Essa será uma pergunta muito importante para você e suas seriguelas e
pode ser resolvida pelo Cálculo. Descobre-se que a lata mais econômica é aquela
cuja altura é igual ao diâmetro (no nosso caso, 7,6 cm de altura)*.
As
abelhas também usam conhecimentos de Matemática para construir suas colmeias:
elas desejam depositar o mel que fabricam em alvéolos de cera que tenham a
forma mais econômica possível, isto é, que apresentem o maior volume para a
menor porção de material empregado.
Para
haver economia de material, é necessário que a parede de um alvéolo sirva
também ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois
se fosse assim cada parede só serviria a um alvéolo. Na verdade os alvéolos
devem ter forma de prismas.
Só
há três prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstício:
o triangular, o quadrangular e o hexagonal. É assim porque os únicos polígonos
com os quais se pode pavimentar um plano sem deixar espaços vazios e sem que
haja intersecções são o triângulo eqüilátero, o quadrado e o hexágono regular.
Com pentágonos regulares, por exemplo, não é possível formar um mosaico.
As
abelhas escolheram usar prismas hexagonais. Você sabe por quê? Porque dos três
prismas regulares construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.
Os
espertos himenópteros ainda precisam decidir qual a maneira mais econômica de
fechar os alvéolos. A forma adotada é a seguinte: o fundo de cada alvéolo é
constituído de três losangos iguais e também serve como fundo para outros
alvéolos, pois a colmeia é arranjada em favos com duas fileiras de alvéolos.
O
volume dos alvéolos depende da forma dos losangos usados para fechá-lo. O
primeiro a se interessar por essa forma parece ter sido o astrônomo italiano
Jean-Dominique Maraldi (1709-1788). Ele determinou experimentalmente, com
absoluta precisão, os ângulos desses losangos e achou 109°28’ para o ângulo obtuso e 70°32’ para o ângulo agudo.
Em
1739, o físico René-Antoine Ferchault de Réamur (1683-1757), supondo que as
abelhas eram guiadas, na construção dos alvéolos, por um princípio de economia,
propôs ao geômetra alemão Johann Samuel König (1712-1757) o seguinte problema:
Entre todas as células hexagonais com o
fundo formado por três losangos, determinar a que seja construída com a maior
economia de material.
König,
que não conhecia os resultados obtidos por Maraldi, achou que os ângulos do
losango do alvéolo matematicamente mais econômico deviam ser 109°26’ para o ângulo obtuso e 70°34’ para o ângulo agudo.
A
concordância entre as medidas feitas por Maraldi e os resultados calculados por
König era espantosa. As abelhas cometiam, na construção dos seus alvéolos, um
erro de míseros 2’ no ângulo do losango de fechamento! Entre o alvéolo
construído pelos insetos alados e o alvéolo “matematicamente correto” havia uma
diferença extremamente pequena!**
Alguns
anos depois, em 1743, geômetra escocês Colin MacLaurin (1698-1746) retomou o
problema. Imagine o que ele descobriu. Que havia um erro nos cálculos de Koenig
e que o resultado real era precisamente os valores dos ângulos dados por
Maraldi - 109°28’ e 70°32’. Os sábios da Ciência haviam
errado. As abelhas é que tinham razão!
Está
demonstrado, portanto, que as abelhas devem ter bons conhecimentos de Geometria
e Cálculo. Eu reproduzi as contas que elas devem fazer para construir suas
colméias e avalio que seja um problema digno do primeiro ano numa faculdade de
Exatas. Queira dar uma olhada dos meus cálculos (clique com o botão direito e selecione 'Abrir link em nova aba' para visualizar a figura inteira).
A
questão é óbvia, mas eu não posso deixar de fazê-la. Como as abelhas sabem a
forma precisa que devem ter os alvéolos da sua colméia para que seja gasta a
menor quantidade de material possível? A economia é tanta que basta um
quilograma de cera para armazenar oito quilogramas de mel! Quem ensinou
princípios de Modelagem Matemática a esses insetos?
Sei
que cresce bastante o número de cristãos que rejeita uma interpretação mais
literal da Bíblia para abraçar o evolucionismo. Mas como a Evolução explicaria
isso? [E é realmente uma pergunta, ficarei feliz em ouvir uma resposta. Admito
que sei muito pouco sobre a Teoria da Evolução.] Será que ao longo de bilhões
de anos surgiram inúmeras espécies de abelhas e a Seleção Natural se encarregou
de eliminar todas aquelas que não projetavam os alvéolos de suas colméias com
losangos de 109°28’ e 70°32’? Se o conhecimento for
adquirido por meio de tentativa e erro, como a informação passa de uma geração
a outra?
Agora
me vem à mente aquela passagem da Bíblia em que um dos amigos de Jó, Eliú, diz:
Por causa das muitas opressões os homens clamam por causa do braço dos
grandes.
Porém ninguém diz: Onde está Deus que me criou, que dá salmos durante a
noite;
Que nos ensina mais do que aos animais da terra e nos faz mais sábios
do que as aves do céus?
Jó 35.9-11
Parafraseio
Eliú e me pergunto como é possível que muitas pessoas não se questionem onde
está Deus que as criou, e que faz abelhas mais sábias do que matemáticos da
burguesia alemã.
* Se a lata mais econômica é aquela que tem o diâmetro igual à altura, por que as latas de refrigerante geralmente não têm esse formato? Eu não sei, mas devem haver outras coisas a ser levadas em conta.
** Para ter uma ideia de quão pequeno é um ângulo de 2' (dois minutos), imagine que uma formiga de 0,6 mm de altura ergue uma das extremidades de uma régua de 1 metro de comprimento. O ângulo que a outra extremidade faz com o chão mede aproximadamente dois minutos.
* Se a lata mais econômica é aquela que tem o diâmetro igual à altura, por que as latas de refrigerante geralmente não têm esse formato? Eu não sei, mas devem haver outras coisas a ser levadas em conta.
** Para ter uma ideia de quão pequeno é um ângulo de 2' (dois minutos), imagine que uma formiga de 0,6 mm de altura ergue uma das extremidades de uma régua de 1 metro de comprimento. O ângulo que a outra extremidade faz com o chão mede aproximadamente dois minutos.
Fontes:
Matemática Divertida e Curiosa,
de Malba Tahan;
A Geometria das Abelhas,
monografia de Dominique Miranda Martins (UFMG);
Modelagem Matemática, de Rodney
Carlos Bassanezi.
