Outros cinco fatos interessantes sobre o número pi

5. A soma dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos é igual a π²/6

Se você for somando os inversos dos números inteiros, vai obter um resultado cada vez maior:

S₁ = 1/1 = 1

S₂ = 1/1 + 1/2 = 1,5

S₃ = 1/1 + 1/2 + 1/3 = 1,83333

S₄ = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 2,083333

S₅ = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 = 2,283333

Em algum momento essa soma vai ficar tão grande quanto se queira. Por exemplo, ela pode se tornar igual a 1 milhão, bastando que você some um número suficiente de termos. Poderíamos dizer que a soma de infinitos termos desta série é infinita ou, com um pouco mais de rigor, que é uma série divergente. Importante: a série diverge muito lentamente -  para que ela some 100 são necessários uns três milhões de trilhões de trilhões de trilhões de termos. Pronto, agora você já pode entender a piada abaixo, do SpikedMath.com:

“Ora, mas é lógico!”, você clama, “que se a soma fica cada vez maior, em algum momento ela ultrapassa até um número muito grande!” Mas isso não é tão óbvio quanto parece. Se você for somando os quadrados dos números inteiros, a coisa será diferente: o resultado nunca será superior a 1,645, por mais termos que se somem. Diz-se que esta é uma série convergente.

S₁ = 1/1² = 1

S₂ = 1/1² + 1/2² = 1,25

S₃ = 1/1² + 1/2² + 1/3² = 1,3611

S₄ = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² = 1,4236

S₅ = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² = 1,4636

...

S₁₀₀₀ = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ... + 1/1000² = 1,6439

  

   Na verdade o limite da série não é exatamente 1,645 e sim π²/6, e isso é muito legal. O número pi é definido a partir de uma propriedade intrínseca à circunferência, e é realmente impressionante que ele se meta na soma dos quadrados dos números inteiros. Para uma bonita prova deste fato, sem Cálculo, veja essa página da Wikipédia:

4. A probabilidade de que dois números escolhidos ao acaso sejam primos entre si é 6/π²

Diz-se que dois números são primos entre si se não têm nenhum divisor em comum. 64 e 35, por exemplo, são primos entre si, mas 64 e 36 não, pois são ambos divisíveis por 2. Aliás, é claro que dois números pares não podem ser primos entre si.

   Pois bem: escolhendo dois números aleatoriamente, a probabilidade de que eles não tenham nenhum divisor em comum é aproximadamente 60,8 % e precisamente 6/π².

Uma prova heurística disso você encontra aqui. 

3. Jogando um milhão de moedas, a probabilidade de que metade delas saia coroa é 1/(1000√π)

No lançamento de n moedas, a probabilidade de que haja um número igual de caras e coroas é C_2n,2/2n. (Não te dá saudades das aulas de Análise Combinatória?). Pode-se mostrar, ou melhor, os mestres podem mostrar, que para n muito grande este número tende a 1/√(nπ).

2. Jogar palitinhos em papel listrado é um método para calcular π

    Este método recebe o nome de Agulha de Buffon. Tome um tabuleiro com várias listras paralelas e alguns palitinhos de comprimento igual à metade da distância entre duas linhas consecutivas do papel. A experiência é muito simples: jogue os palitinhos e conte quantos deles tocaram ou cruzaram alguma das linhas. Faça isso zilhões de vezes e depois divida o número de palitinhos lançados pelo número de palitinhos que acertaram alguma das linhas. O resultado é uma aproximação do número pi. Se você tem 10 palitinhos, só teve paciência para repetir os lançamentos 22 vezes e contou que houve 70 cruzamentos, sua aproximação para pi é 220/70 = 3,142.

    Eu resisti à tentação de colocar aqui as provas dos fatos anteriores, mas dessa vez eu preciso escrever mais sobre isso. Digo mais uma vez: você encontra pi quando divide o perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro. Mas onde está a circunferência nessa experiência com palitinhos???

   A posição de um palitinho em relação às linhas do tabuleiro pode ser descrita por duas variáveis: d, a distância do seu centro até a linha mais próxima e θ, o ângulo que ele faz com a horizontal. O palitinho da figura abaixo caiu bem no meio da lacuna entre duas linhas e na direção uma-hora-e-meia. Então nós descrevemos sua posição por d = l/2 e θ = 45º.

    A cada posição possível do palitinho corresponde um ponto no gráfico da direita. O nosso palitinho corresponde ao pontinho verde na figura (aliás, você sabe o que é um pontinho verde no poleiro?... deixa pra lá). A relação entre d e θ para que um palitinho cruze uma das retas é

(l/2) sen θ ≥ d

Isso corresponde aos pontos pintados de vermelho no nosso gráfico. A probabilidade de que um palito cruze uma reta é a chance de que um ponto do gráfico escolhido ao acaso esteja entre os pontos vermelhos (veja que para o nosso palito isto não acontece e o ponto verde não está no meio dos vermelhos). Essa chance é a razão entre a área vermelha do gráfico e a área do retângulo de base 180º e altura l/2. Com um pouco de Cálculo mostra-se que essa razão vale 1/π.

   Note que o pi surge devido ao aparecimento da função seno, que é definida a partir da circunferência. Perceba também que este é um método probabilístico, no sentido de que o número pi não aparece diretamente, mas apenas numa probabilidade. Teve um senhor que disse ter jogado 3550 palitinhos e obtido 1130 cruzamentos, obtendo a melhor aproximação possível com números pequenos. Ninguém acreditou nele, pela mesma maneira que dificilmente alguém acreditaria se você dissesse que em 3550 lançamentos de moedas obteve 1775, exatamente metade, de coroas.

1. Você obteria π numa experiência com bolas de bilhar

E esse é um método determinístico para o cálculo do pi, isto é, sua expansão decimal aparece forçosamente.

    Tome um plano perfeitamente liso e duas bolas de bilhar perfeitamente iguais, esféricas e homogêneas. OK, você nunca conseguiria arranjar esse material, e essa é a desvantagem do método :-). De fato, para que a experiência funcionasse, não poderia haver nenhuma perda de energia ou momento durante as colisões das esferas entre si ou com a borda do plano. Isso nem existe no mundo real...

    Mas enfim. Se você bate em uma das bolas para que ela colida com a outra, haverá três colisões ao todo: uma primeira colisão entre as bolas, uma segunda entre a bola e a borda da mesa e uma terceira entre as bolas novamente. Depois disso a bola em que você bateu vai se afastar da outra para sempre.

    Agora tome uma bola de bilhar com massa 100 vezes maior que a da outra. Haverá 31 colisões ao todo. Já notou o padrão? Se a razão entre as massas das bolas fosse de 10000, o número de colisões seria 314, e assim por diante, a cada multiplicação de 100 na razão entre as massas aparecendo mais um dígito de pi.

   Este fato é tão curioso que poucos são merecedores de desvendá-lo. Não vou indicar nenhuma referência, a menos que me peçam por meio dos comentários.